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<!DOCTYPE html>

<title>Zeitdilatation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Zeitdilatation</h1>

</header>

</div>

Die Zeitdilatation (von lateinisch dilatare, ‚dehnen‘, ‚aufschieben‘) ist ein Effekt, der durch die <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> beschrieben wird.

Zu unterscheiden sind zwei Effekte:

<ul><li>Zeitdilatation aufgrund relativer Bewegung, und</li>

<li>Zeitdilatation im Gravitationsfeld bzw. in der Nähe einer Masse.</li></ul>

Die Zeitdilatation aufgrund relativer Bewegung ist ein Effekt der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">speziellen Relativitätstheorie</a> (<a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Einstein</a>, 1905). Er bewirkt, dass für einen externen Beobachter alle inneren Prozesse eines relativ zu ihm bewegten physikalischen Systems langsamer ablaufen als für ihn selbst: „Bewegte Uhren gehen langsamer.“ Da sich beide Systeme relativ zueinander bewegen, tritt dieser Effekt für Beobachter in beiden Systemen auf: Jeder sieht die Zeit im anderen System langsamer ablaufen. Der Effekt ist umso stärker, je größer die <a href="Relativgeschwindigkeit" title="Relativgeschwindigkeit">Relativgeschwindigkeit</a> ist, und wird sehr groß, wenn sie sich der <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> nähert. Damit verbunden ist die <a href="Relativit%C3%A4t_der_Gleichzeitigkeit" title="Relativität der Gleichzeitigkeit">Relativität der Gleichzeitigkeit</a>: Es gibt keine universelle, für alle Beobachter gleiche Zeit. Zeitdilatation und <a href="Lorentz-Kontraktion" title="Lorentz-Kontraktion">Lorentz-Kontraktion</a> sind eng verknüpfte geometrische Effekte der vierdimensionalen <a href="Raumzeit" title="Raumzeit">Raumzeit</a>.

Die gravitative Zeitdilatation ist ein Effekt der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> (Einstein, 1915).

In einem stärkeren <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitationsfeld</a> verläuft die Zeit langsamer als in einem schwächeren. Der Effekt ist klein: Auf der Erdoberfläche vergeht die Zeit um 7·10−10 langsamer als im fernen, näherungsweise gravitationsfreien Weltraum. Anders als bei der Zeitdilatation durch Bewegung ist die gravitative Zeitdilatation nicht gegensätzlich, sondern übereinstimmend: So wie der im Gravitationsfeld weiter oben befindliche Beobachter die Zeit des weiter unten befindlichen Beobachters langsamer ablaufen sieht, sieht der untere Beobachter die Zeit des oberen Beobachters entsprechend schneller ablaufen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zeitdilatation_durch_relative_Bewegung">Zeitdilatation durch relative Bewegung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bei_konstanter_Geschwindigkeit">Bei konstanter Geschwindigkeit</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Anschaulicher_Einblick_ohne_Formeln">Anschaulicher Einblick ohne Formeln</h4></div>

Eine der wichtigsten Grundannahmen der Relativitätstheorie ist die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit. Das bedeutet, dass alle Beobachter denselben Wert für die Geschwindigkeit des Lichts messen, egal wie schnell sie sich selbst oder wie schnell sich die Lichtquelle bewegt. Man stelle sich einen sehr schnell fahrenden Zug vor. Für die Zuginsassen bewegen sich die Lichtstrahlen von der Deckenbeleuchtung bis zum Fußboden senkrecht nach unten. Nennen wir den Startpunkt A und den Zielpunkt B. Wenn wir davon ausgehen, dass die Wegstrecke von A nach B 3 m beträgt, dann benötigt das Licht dafür die unvorstellbar kurze Zeit von 0,01 μs.

Vom ruhenden Bahndamm aus betrachtet stellt sich die Situation etwas anders dar: Während das Licht von A nach B läuft, fährt der Zug ein Stückchen weiter, sagen wir 1 m, so dass der Weg von A nach B nicht mehr genau senkrecht ist, sondern leicht nach vorne geneigt. Dadurch ist er auch etwas länger, nämlich 3,16 m. Da wie gesagt für alle Beobachter derselbe Wert für die Lichtgeschwindigkeit gilt, berechnet der Beobachter am Bahndamm eine etwas längere Zeit für diesen Vorgang (0,0105 µs). Weil im Zug offenbar eine halbe Nanosekunde weniger vergangen ist als auf dem Bahndamm, schließt der ruhende Beobachter, dass die Zeit im fahrenden Zug langsamer läuft.

Die allgemeine Tatsache, dass bewegte Uhren aus Sicht eines ruhenden Beobachters langsamer gehen, bezeichnet man als Zeitdilatation.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Erläuterung">Erläuterung</h4></div>

Zum Verständnis der Zeitdilatation ist es erforderlich, sich die grundlegenden Messvorschriften und Methoden zur Zeitmessung mit ruhenden und bewegten Uhren zu vergegenwärtigen.<a href="#cite_note-Born-1">[1]</a><a href="#cite_note-Sexl,Schmidt-2">[2]</a>

Wenn zwei Ereignisse nacheinander am selben Ort in einem <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystem</a> auftreten, dann kann durch direktes Ablesen der Zeigerstellungen einer an diesem Ort ruhenden Uhr C die <a href="#Eigenzeit">Eigenzeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy"> (Zeitspanne zwischen erstem und zweitem Ereignis) ermittelt werden. Die von C angezeigte Eigenzeit ist <a href="Lorentz-Invarianz" class="mw-redirect" title="Lorentz-Invarianz">invariant</a>, also in allen Inertialsystemen wird zugestimmt, dass C diese Zeitspanne während des Vorgangs anzeigte.<a href="#cite_note-taylor-3">[3]</a> Wird die Eigenzeit von C mit den Uhren relativ bewegter Inertialsysteme verglichen, kann folgendermaßen vorgegangen werden: Ein Beobachter im Inertialsystem S stellt zwei Uhren A und B auf, die mit Lichtsignalen <a href="Einstein-Synchronisation" class="mw-redirect" title="Einstein-Synchronisation">synchronisiert</a> sind. Uhr C ruht in S′ und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v von A nach B, wobei sie zum Startzeitpunkt mit A und B synchron sein soll. Die „bewegte“ Uhr C (für welche die Eigenzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}^{'}}">

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}^{'}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcf1427bd1ae5821e67234e52bffb743c583bd28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.484ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T_{0}^{'}}" loading="lazy"> vergangen ist) geht bei ihrer Ankunft gegenüber der „ruhenden“ Uhr B (für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> vergangen ist) nach, und zwar gemäß folgender Formel für die Zeitdilatation (siehe <a href="#Lichtuhr">Herleitung</a>):

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}^{'}=T/\gamma ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cf3c1aa849747f5ef894dafbd04eda6bad2d5fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.29ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T_{0}^{'}=T/\gamma ,}" loading="lazy"></dd></dl>

somit gehen Uhren A und B schneller um

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T_{0}^{'}\gamma ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2842ec49fd37a031c7249ce52440b5fa76692220.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.128ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T=T_{0}^{'}\gamma ,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f863e0ac3de3e63dea6601487501cfb1c009fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:16.341ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

der <a href="Lorentz-Faktor" title="Lorentz-Faktor">Lorentz-Faktor</a> mit der Lichtgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> ist.

Nun besagt das <a href="Relativit%C3%A4tsprinzip" title="Relativitätsprinzip">Relativitätsprinzip</a>, dass in S′ die Uhr C als ruhend betrachtet werden kann und folglich die Uhren A und B langsamer gehen müssen als C. Auf den ersten Blick widerspricht dies jedoch dem Umstand, dass in beiden Inertialsystemen Uhr C beim Zusammentreffen mit B nachgeht, was auch aus der Invarianz der Eigenzeiten der Uhren C und B folgt.

Dies wird allerdings erklärbar, wenn die <a href="Relativit%C3%A4t_der_Gleichzeitigkeit" title="Relativität der Gleichzeitigkeit">Relativität der Gleichzeitigkeit</a> berücksichtigt wird. Denn obige Messung beruhte auf der Voraussetzung, dass die Uhren A und B (und somit zum Startzeitpunkt auch C) synchron sind, was jedoch aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen nur in S der Fall ist. In S′ schlägt die Synchronisierung von A und B fehl – weil die Uhren sich hier in negativer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Richtung bewegen und B dem Zeitsignal entgegenkommt, während A diesem davonläuft. B wird also zuerst vom Signal erfasst und beginnt gemäß einem durch die <a href="Lorentz-Transformation" title="Lorentz-Transformation">Lorentz-Transformation</a> zu ermittelnden Wert früher als A zu laufen. Berücksichtigt man dieses Vorgehen von Uhr B aufgrund des verfrühten Starts (zieht man also diesen Zeitbetrag von der Gesamtzeit von B ab), ergibt sich auch hier, dass die „bewegte“ Uhr B (für welche die Eigenzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy"> vergangen ist) während des Weges zur „ruhenden“ Uhr C (für welche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{'}}">

<msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{'}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7a27ff2dfcfc867eed5a8ba199f1b03c071d3bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.484ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T^{'}}" loading="lazy"> vergangen ist) langsamer läuft gemäß folgender Formel:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}=T'/\gamma ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a29e308ed57716a3e170c67604ce2ba99da1ac2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.987ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{0}=T'/\gamma ,}" loading="lazy"></dd></dl>

somit geht Uhr C schneller um

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'=T_{0}\gamma .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f5ad09df958e572154aa3fc276b5f64a5f345a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.824ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'=T_{0}\gamma .}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Zeitdilatation fällt also – wie vom Relativitätsprinzip gefordert – in allen Inertialsystemen symmetrisch aus: Jeder misst, dass die Uhr des jeweils anderen langsamer läuft als seine eigene. Diese Forderung ist erfüllt, obwohl in beiden Inertialsystemen C gegenüber B beim Zusammentreffen nachgeht und die Eigenzeiten von C als auch B invariant sind.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Veranschaulichung_der_Größenordnung">Veranschaulichung der Größenordnung</h4></div>

Bei nicht sehr großen Geschwindigkeiten wirkt sich die Zeitdilatation praktisch gar nicht aus. Zur Veranschaulichung stellen wir uns einen fiktiven und vereinfachten Raumflug vom <a href="Sonnensystem" title="Sonnensystem">Sonnensystem</a> zum nächsten Stern <a href="Proxima_Centauri" title="Proxima Centauri">Proxima Centauri</a> vor. Hierbei lassen wir Effekte, die sich durch das Beschleunigen oder Abbremsen des Raumfahrzeugs ergeben, aus Gründen der Einfachheit unberücksichtigt. Die Distanz beträgt 4,24 <a href="Lichtjahr" title="Lichtjahr">Lichtjahre</a>. Je nach Reisegeschwindigkeit ergeben sich folgende Werte:

<th>Geschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit

</th>

<th>Reisedauer im Ruhesystem in Jahren

</th>

<th>Reisedauer im Bordsystem in Jahren

</th>

<th>Verhältnis Bordsystem : Ruhesystem (gerundet)

</th></tr>

<tr>

<td>0,004

</td>

<td>106000

</td>

<td>105999,999992

</td>

<td>1 : 1,0000000008

</td></tr>

<tr>

<td>1

</td>

<td>424

</td>

<td>423,9

</td>

<td>1 : 1,00005

</td></tr>

<tr>

<td>10

</td>

<td>42,4

</td>

<td>42,2

</td>

<td>1 : 1,005

</td></tr>

<tr>

<td>50

</td>

<td>8,48

</td>

<td>7,34

</td>

<td>1 : 1,15

</td></tr>

<tr>

<td>90

</td>

<td>4,71

</td>

<td>2,05

</td>

<td>1 : 2,29

</td></tr>

<tr>

<td>99

</td>

<td>4,28

</td>

<td>0,60

</td>

<td>1 : 7,09

</td></tr>

<tr>

<td>99,99

</td>

<td>4,24

</td>

<td>0,06

</td>

<td>1 : 70,7

</td></tr></tbody></table>

Mit „Ruhesystem“ ist hier das Bezugssystem gemeint, in dem die Erde und Proxima Centauri ruhen. Mit „Bordsystem“ ist das Eigensystem des Raumfahrzeugs gemeint. Die in der ersten Zeile verwendete Geschwindigkeit (0,004 % der Lichtgeschwindigkeit) ist ungefähr diejenige, die von dem bisher schnellsten bemannten Raumfahrzeug (<a href="Apollo_(Raumschiff)" title="Apollo (Raumschiff)">Apollo-Kapsel</a>) erreicht wurde.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zeitdilatation_und_Längenkontraktion">Zeitdilatation und Längenkontraktion</h4></div>

Dabei ist ersichtlich, dass die Zeitdilatation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy"> gegenüber <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> (gemessen mit ruhenden, synchronisierten Uhren)

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T_{0}\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05ee9baed36da9c624266813ecc702182ac2102c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.409ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T=T_{0}\gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

<a href="Kehrwert" title="Kehrwert">reziprok</a> ist zur <a href="Lorentz-Kontraktion" title="Lorentz-Kontraktion">kontrahierten</a> Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> bewegter Objekte (gemessen durch gleichzeitige Bestimmung der Endpunkte mittels ruhender Maßstäbe) bezüglich ihrer Ruhelänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db742b8c210fc611329a4c2dcc3af4b4e1a110cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}}" loading="lazy">:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=L_{0}/\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d392f49a457aaf27f3eabeb8e5ec1bc74f84c895.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.743ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L=L_{0}/\gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

Das bedeutet, dass die von mitbewegten Uhren angezeigte Eigenzeit immer kleiner ist als die von ruhenden Uhren angezeigte Zeitspanne, wohingegen die von mitbewegten Maßstäben gemessene Eigenlänge immer größer ist als die von ruhenden Maßstäben gemessene Länge desselben Objekts.<a href="#cite_note-Born-1">[1]</a>

Der umgekehrte Fall tritt ein, wenn Uhr und Maßstab nicht im selben Inertialsystem ruhen. Bewegt sich nämlich die Uhr innerhalb der Zeitspanne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> entlang eines Maßstabs in S (gemessen von dort ruhenden Uhren), dann ist dessen Ruhelänge einfach mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}=Tv}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=Tv}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0339f609c4fde433428331c5c4f83bfdc326a917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.499ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=Tv}" loading="lazy"> gegeben, wohingegen die dilatierte Uhr eine geringere Eigenzeit gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'_{0}=T/\gamma }">

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'_{0}=T/\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b0be285fc50a0bd6f985e7d87f66f0efc07c593.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.571ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'_{0}=T/\gamma }" loading="lazy"> anzeigt. Da ihre Eigenzeit invariant ist, wird sie diese Zeitspanne auch im eigenen Ruhesystem anzeigen, woraus folgt, dass der in S′ bewegte Stab die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L'=T'_{0}v={\frac {T}{\gamma }}v}">

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L'=T'_{0}v={\frac {T}{\gamma }}v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fa66e43cd06796689cf04b92123bdbe59a8ec19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.604ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle L'=T'_{0}v={\frac {T}{\gamma }}v}" loading="lazy"> hat. Der Stab ist hier also um einen Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> kürzer, was der Längenkontraktion des bewegten Stabes entspricht.<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Lichtuhr">Lichtuhr</h4></div>

Für eine einfache Erklärung dieses Faktors kann das Konzept der Lichtuhr herangezogen werden. Eine Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">, die einen kurzen Lichtblitz hin und her reflektieren. Eine solche Lichtuhr wurde bereits im 19. Jahrhundert in der Theorie der Lichtlaufzeiten beim <a href="Michelson-Morley-Experiment" title="Michelson-Morley-Experiment">Michelson-Morley-Experiment</a> besprochen, und als <a href="Gedankenexperiment" title="Gedankenexperiment">Gedankenexperiment</a> zur Herleitung der Zeitdilatation erstmals 1909 von <a href="Gilbert_Newton_Lewis" title="Gilbert Newton Lewis">Gilbert Newton Lewis</a> und <a href="Richard_C._Tolman" title="Richard C. Tolman">Richard C. Tolman</a> benutzt.<a href="#cite_note-Lewis,Tolman-6">[6]</a>

Wenn eine Lichtuhr A gegeben ist, wird aus Sicht eines mit ihr mitbewegten (also relativ zu ihr ruhenden) Beobachters ein Blitz für den einfachen Weg zwischen den Spiegeln die Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}=d/c}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}=d/c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9dbe9d9006101b95495a5143815d5220d23d5a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{0}=d/c}" loading="lazy"> benötigen. An einem der beiden Spiegel wird jedes Auftreffen des Lichtblitzes registriert und dabei jedes Mal die Lichtuhr um eine Zeiteinheit weitergestellt, die der Gesamtlaufzeit des Lichtblitzes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c48fb20dc6721c8db8b036304ebbee4a750e0c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2T_{0}}" loading="lazy"> entspricht.

Wird nun eine zweite Lichtuhr B senkrecht zur Verbindungslinie der Spiegel mit der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> bewegt, so muss das Licht aus Sicht des A-Beobachters zwischen den Spiegeln eine größere Strecke zurücklegen als bei Uhr A. Unter der Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit geht für den A-Beobachter Uhr B daher langsamer als Uhr A. Die Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'=d'/c}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'=d'/c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fab20e53d7b47c7e3be2c5a6cb1336e484f60d9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.575ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'=d'/c}" loading="lazy">, die der Lichtblitz für den einfachen Weg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f310a68106a9e308bdaf887ff8f7171c4cb9d96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d'}" loading="lazy"> zwischen den Spiegeln benötigt, ergibt sich über den <a href="Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d'^{2}=d^{2}+(vT')^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94c0c37e4d68a6b3a6f7af369564cc87274a67d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.979ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle d'^{2}=d^{2}+(vT')^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Einsetzen der Ausdrücke für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f310a68106a9e308bdaf887ff8f7171c4cb9d96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d'}" loading="lazy"> und Auflösen nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b32d735f4fbb6eff3b35ed3dc1005a069d0b2e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.405ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T'}" loading="lazy"> erhält man schließlich

<msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{'}={T_{0}}{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb8f44c1d31399f7558dbae0573471ce37858bf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:19.974ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle T^{'}={T_{0}}{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder mit dem Lorentzfaktor

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'=T_{0}\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ba85ce40720b7b62a0221dcd0eaa63ce5517bf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.177ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'=T_{0}\gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

und somit

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}=T'/\gamma .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e21fe8b7ed4404ae18a45e34c4e87400a530f075.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.987ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{0}=T'/\gamma .}" loading="lazy"></dd></dl>

Hingegen kann ein mit Uhr B mitbewegter Beobachter gemäß <a href="Relativit%C3%A4tsprinzip" title="Relativitätsprinzip">Relativitätsprinzip</a> ebenfalls von sich behaupten, sich in Ruhe zu befinden. Das heißt, seine bei ihm befindliche Uhr B wird eine einfache Laufzeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2T_{0}^{'}}">

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2T_{0}^{'}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d51e29d990dd84d9b14179f05cbaa6d8c168c76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.646ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 2T_{0}^{'}}" loading="lazy"> für den Lichtblitz anzeigen. Hingegen wird der Lichtblitz der aus Sicht des Beobachters bewegten Uhr A für ihn einen größeren Weg zurücklegen und benötigt die Zeit

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T'_{0}\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f2a501e5209c0ad3885a03cd96ff1f31fcbaeee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T=T'_{0}\gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

und somit gilt

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'_{0}=T/\gamma .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd76ebaf111048b1c451dba461f0a7908ffafd0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.218ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'_{0}=T/\gamma .}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formulierung_im_vierdimensionalen_Minkowski-Raum">Formulierung im vierdimensionalen Minkowski-Raum</h3></div>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder{margin-top:.5em}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-kopf{clear:both;font-weight:bold}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-horizontal{float:left;padding:1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="thumb tright vl-mehrere-bilder" style="width:212px;"><div class="thumbinner" style="background:white;color:#202122"><div><div class="thumbimage"></div></div><div><div class="thumbimage"></div></div>

<div class="thumbcaption" style="clear:both;text-align:left;"><a href="Minkowski-Diagramm#Symmetrisches_Minkowski-Diagramm" title="Minkowski-Diagramm">Symmetrische Minkowski-Diagramme</a>, wo zwei Uhren mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen fliegen, wodurch beide Weltlinien die gleiche Skalierung erhalten. Oben: Eigenzeit und Zeitdilatation Unten: <a href="Zwillingsparadoxon" title="Zwillingsparadoxon">Zwillingsparadoxon</a></div></div></div>

Für eine anschauliche Beschreibung beschreibt man Raum und Zeit als <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">vierdimensionalen Vektor</a> im <a href="Minkowski-Raum" title="Minkowski-Raum">Minkowski-Raum</a>, mit einer Zeit- und drei Raumdimensionen. Das vierdimensionale <a href="Linienelement" class="mw-redirect" title="Linienelement">Linienelement</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b53965c8f86e8a184dff634475ea13b8fa6c722.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.348ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }" loading="lazy"> im Minkowski-Raum ist gegeben durch

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/562bb46a2467d2e383200b51379bcce60f92bffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.537ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Eigenzeit">Eigenzeit</h4></div>

Von besonderer Bedeutung ist die Eigenzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy">, die Zeit, die in dem Inertialsystem verstreicht, in dem das Objekt in Ruhe ist.

Die <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a> des Linienelements <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b53965c8f86e8a184dff634475ea13b8fa6c722.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.348ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }" loading="lazy"> ist, wie die Norm aller Vierervektoren, lorentz-invariant, also für alle Intertialsysteme gleich. Im Ruhesystem gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t=\mathrm {d} \tau }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t=\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3405fc90c00599ebcafca7f61efe16563ef5472b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.725ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t=\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} x=\mathrm {d} y=\mathrm {d} z=0}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} x=\mathrm {d} y=\mathrm {d} z=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78f46c52269e7812a487e2cbdb0b290a37a26859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.909ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} x=\mathrm {d} y=\mathrm {d} z=0}" loading="lazy">, das heißt es gilt einfach:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}=c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fd4be73f56c800d3f350b4422e7bcec16dc16c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.813ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}=c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der raumzeitlichen Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {d} \mathbf {s} |}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {d} \mathbf {s} |}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12ed600478180c86af7a40c80f8432ab98ebd8d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.642ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {d} \mathbf {s} |}" loading="lazy"> ist also gleich der Eigenzeit (multipliziert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">)

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {|} d\mathbf {s} |=c\cdot \mathrm {d} \tau \,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d5e029f7031d1e16fcfd4733dd7ae15d3b4ce6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.878ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {|} d\mathbf {s} |=c\cdot \mathrm {d} \tau \,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Einsetzen und Herausheben von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/501b51c18d476275382b3dcc9021ff9ad15a04b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.186ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t^{2}}" loading="lazy"> folgt dann

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\cdot \mathrm {d} \tau ={\sqrt {\mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}}}=\mathrm {d} t{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac73dfac88053f7e885e8fff64442b7bd9e58ead.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:56.174ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle c\cdot \mathrm {d} \tau ={\sqrt {\mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}}}=\mathrm {d} t{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Da eine Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> allgemein als Ableitung des Ortsvektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fe5622ace035bf6747042a78d531deacf8d81a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}" loading="lazy"> nach der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> definiert ist:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c75ba5d2c10ce42f49b52cdbdd45784f3174724c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.626ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt daraus

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \tau ={\frac {1}{c}}\mathrm {d} t{\sqrt {c^{2}-{\vec {v}}^{2}(t)}}=\mathrm {d} t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\gamma }}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e4c975216f657dd80c2ead964f43d85c698839d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:45.765ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \tau ={\frac {1}{c}}\mathrm {d} t{\sqrt {c^{2}-{\vec {v}}^{2}(t)}}=\mathrm {d} t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\gamma }}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Differential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \tau }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a18897d8edf14fe5f4b48c7582d5d21f14bdd53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \tau }" loading="lazy"> ist also immer nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\frac {1}{\gamma }}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\frac {1}{\gamma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19a5f2df773823f52811fa2b827dc80505562878.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.729ex; height:3.676ex;" alt="{\textstyle {\frac {1}{\gamma }}}" loading="lazy">-mal so groß wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t.}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b609256b1fe793117d3b95d096117523b71ffdc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.779ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t.}" loading="lazy">

Für ein mit dem betrachteten Teilchen mitbewegtes System ergibt sich die Identität beider Differentiale, weil in diesem System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}(t)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08b27e295edfc683e4b11c327859570b8c963216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.831ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle v^{2}(t)}" loading="lazy"> identisch Null ist. Ähnlich wichtige Identitäten, etwa die berühmte Relation <a href="%C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie" title="Äquivalenz von Masse und Energie">E0 = mc2</a> aus dem <a href="Energie-Impuls-Relation" class="mw-redirect" title="Energie-Impuls-Relation">Energie-Impuls-Vierervektor</a>, ergeben sich leicht im mitbewegten System für andere Invarianten der Lorentz-Transformationen.

Die Eigenzeit bleibt erhalten, wenn über das Eigenzeitelement integriert wird:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}(t')}{c^{2}}}}}\,\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ec0fc27cf172b65fcff3bb5fc9cb6e0e0fac31e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.86ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}(t')}{c^{2}}}}}\,\mathrm {d} t'}" loading="lazy">.</dd></dl>

Messtechnisch entspricht die Eigenzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> obigem Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy">. Zeichnet eine Uhr C die Dauer zwischen den Ereignissen U und W am jeweiligen Ereignispunkt selbst, also entlang der <a href="Weltlinie" title="Weltlinie">Weltlinie</a> von C, auf, wird das von C angezeigte Zeitintervall die Eigenzeit zwischen diesen Ereignissen genannt (siehe erstes Minkowski-Diagramm rechts).<a href="#cite_note-Sexl,Schmidt-2">[2]</a><a href="#cite_note-freund-7">[7]</a><a href="#cite_note-8">[8]</a>

Genauso wie das zugrunde liegende Linienelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/211c804c3a1c76cdeb729ff072ecb27a11a69d5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.402ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ^{2}}" loading="lazy"> ist auch die Eigenzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy"> eine <a href="Lorentz-Transformation#Lorentz-Invariante" title="Lorentz-Transformation">Invariante</a>, denn in allen Inertialsystemen wird übereinstimmend festgestellt, dass Uhr C genau diese Zeitspanne zwischen U und W anzeigt.<a href="#cite_note-taylor-3">[3]</a> Die invariante Eigenzeit ist die Referenzgröße, wenn die Zeitdilatation auftritt. Wie oben bereits erläutert, wird die Gangrate der Uhr C aus der Sicht aller anderen bewegten Systeme verlangsamt in Bezug zu den eigenen Uhren gemessen. Demzufolge wird Uhr C zwischen den beiden Beobachtungsereignissen U und W eine kürzere Zeitspanne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'_{0}=UW}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'_{0}=UW}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed377b4b2f718fc3d9d51ea5fe1a21c2450e6bd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.728ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T'_{0}=UW}" loading="lazy"> anzeigen, wohingegen die synchronisierten S-Uhren eine größere Zeitspanne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=Ux}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=Ux}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2b988f94ba573684231071ec4f1ca090e82c5d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.847ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=Ux}" loading="lazy"> anzeigen gemäß

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T'_{0}\gamma .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb717357e072376285ecaae503b3fdaf6050332c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T=T'_{0}\gamma .}" loading="lazy"></dd></dl>

Ruht hingegen eine Uhr B in S und finden auf ihrer Weltlinie zwei Ereignisse U und V statt, dann ist die Zeitspanne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}=UV}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}=UV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7956dc5e604d9199d2cf433c7980439dc9179de3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.08ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}=UV}" loading="lazy"> identisch mit der invarianten Eigenzeit zwischen diesen Ereignissen, folglich wird im System S′ eine größere Zeitspanne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'=Ux'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'=Ux'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a376beb784695bc2cbb366a1db01a355b9513fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.3ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T'=Ux'}" loading="lazy"> gemessen:

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'=T_{0}\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ba85ce40720b7b62a0221dcd0eaa63ce5517bf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.177ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'=T_{0}\gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

Die Eigenzeit einer bei zwei Ereignissen vor Ort befindlichen unbeschleunigten Uhr ist also minimal im Vergleich zur synchronisierten Koordinatenzeit zwischen denselben Ereignissen in allen anderen Inertialsystemen.<a href="#cite_note-taylor-3">[3]</a> Denn sofern keine der Uhren beschleunigt wird, gibt es immer nur eine Uhr und somit nur eine gerade Weltlinie, welche die Eigenzeit zwischen zwei bestimmten Ereignissen anzeigt. Es ist zwar möglich, dass ein einzelnes Ereignis U gleichzeitig auf zwei geraden Weltlinien ist (und zwar dort, wo sich die Weltlinien von C und B schneiden), jedoch ist es geometrisch unmöglich, dass das zweite Ereignis W auf der Weltlinie von C auch auf der Weltlinie von B ist, sowie es auch unmöglich ist, dass das zweite Ereignis V auf der Weltlinie von B auch auf der Weltlinie von C ist.

Wenn jedoch eine der Uhren beschleunigt wird, können sich die Weltlinien abermals schneiden. Hier ergibt es sich, dass die gerade Weltlinie der unbeschleunigten Uhr eine größere Eigenzeit anzeigt als die zusammengesetzt-gekrümmte Weltlinie der beschleunigten Uhr, was die Erklärung des <a href="Zwillingsparadoxon" title="Zwillingsparadoxon">Zwillingsparadoxons</a> darstellt. Während also, wie oben gezeigt, die Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen auf der Weltlinie einer unbeschleunigten Uhr minimal ist im Vergleich zu den synchronisierten Koordinatenzeiten in allen anderen Inertialsystemen, ist sie maximal im Vergleich zu den Eigenzeiten von beschleunigten Uhren, die bei beiden Ereignissen ebenfalls vor Ort waren.<a href="#cite_note-taylor-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Verwendung_der_Eigenzeit_bei_zwei_Inertialsystemen">Verwendung der Eigenzeit bei zwei Inertialsystemen</h4></div>

<div class="thumb tright vl-mehrere-bilder" style="width:212px;"><div class="thumbinner" style="background:white;color:#202122"><div><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption" style="text-align:left">Symmetrisches Minkowski-Diagramm der Eigenzeiten.</div></div><div><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption" style="text-align:left">Im Inertialsystem S sind A und B synchron. Die „bewegte“ Uhr C tickt langsamer und geht bei Ankunft bei B nach. Im Minkowski-Diagramm: A=3=dg; B=3=ef; C=2=df.</div></div><div><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption" style="text-align:left">Im Inertialsystem S′ sind A und B aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit nicht synchron, wobei B gegenüber A vorgeht. Obwohl hier die „bewegten“ Uhren A und B langsamer ticken, reicht der Zeitvorsprung von B, damit auch hier C gegenüber B bei der Zusammenkunft nachgeht. Im Minkowski-Diagramm: A=1,3=dh; B=1,7=ej; B=3=ef; C=2=df.</div></div>

</div></div>

Einige Eigenzeiten werden nebenstehend in einem symmetrischen Minkowski-Diagramm und weiteren Bildern dargestellt. Uhr C (ruhend in S′) trifft bei d auf Uhr A und bei f auf Uhr B (beide ruhend in S). Die invariante Eigenzeit von C zwischen diesen Ereignissen ist df. Die Weltlinie von Uhr A ist die ct-Achse, die Weltlinie von Uhr B gezogen durch d ist parallel zur ct-Achse, und die Weltlinie von Uhr C ist die ct′-Achse. Alle zu d gleichzeitigen Ereignisse sind in S auf der x-Achse, und in S′ auf der x′-Achse. Die jeweiligen Zeitspannen können direkt durch Abzählen der Markierungen bestimmt werden.

In S ist die Eigenzeit df von C dilatiert im Vergleich zur längeren Zeit ef=dg von Uhren B und A. Umgekehrt wird auch in S′ die invariante Eigenzeit von B dilatiert gemessen. Denn Zeit ef ist kürzer in Bezug zur Zeit if, weil das Startereignis e von Uhr B schon zur Zeit i gemessen wurde, bevor Uhr C überhaupt zu ticken begonnen hatte. Zum Zeitpunkt d hat B die Zeit ej hinter sich, und auch hier ergibt sich die Zeitdilatation, wenn df in S′ mit der restlichen Zeit jf in S verglichen wird.

Aus diesen geometrischen Verhältnissen wird abermals klar, dass die invariante Eigenzeit zwischen zwei bestimmten Ereignissen (in diesem Fall d und f) auf der Weltlinie einer unbeschleunigten Uhr kürzer ist als die mit synchronisierten Uhren gemessene Zeit zwischen denselben Ereignissen in allen anderen Inertialsystemen.<a href="#cite_note-freund-7">[7]</a><a href="#cite_note-taylor-3">[3]</a> Wie gezeigt, steht dies nicht im Widerspruch zur wechselseitigen Zeitdilatation, denn aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit werden die Startzeitpunkte der Uhren in anderen Inertialsystemen unterschiedlich gemessen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitdilatation_durch_reine_Beschleunigung">Zeitdilatation durch reine Beschleunigung</h3></div>

Die momentane Zeitdilatation, ggf. auch Zeitraffereffekt, der geradlinigen Beschleunigung resultiert aus der Desynchronisierung der Uhren:

Bei jeder Veränderung der Relativgeschwindigkeit, die hier dargestellt wird und nicht unbedingt von spürbaren Trägheitswirkungen begleitet sein muss, verändert sich auch die relative Desynchronisierung der Uhren des beobachteten Systems.

Aus der subjektiven Sicht des Beobachters sind die Uhren im beobachteten System nämlich entsprechend ihrem lokalen Ortsabstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l'=x_{2}'-x_{1}'}">

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l'=x_{2}'-x_{1}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b6b115af05a5e9d8fd870c9140365c8a59e75d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.085ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle l'=x_{2}'-x_{1}'}" loading="lazy"> als Folge der Relativität der Gleichzeitigkeit desynchronisiert:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{\Delta }=-\Delta l'v/c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d16406c92159eb6831da43a6720b1a715963453b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \tau _{\Delta }=-\Delta l'v/c^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist τΔ die Gangabweichung, die zwischen zwei lokalen Uhren im Eigenabstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> abgelesen wird. In gleicher Weise kann auch die Änderung der Desynchronisierung durch eine veränderte Geschwindigkeit des Beobachters dargestellt werden, wobei der momentane Abstand vom Beobachter zu wählen ist:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{\Delta }=-x'\Delta v/c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bef5ca7a4a11af781a763d9dea01d285964511b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.825ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \tau _{\Delta }=-x'\Delta v/c^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch welche Ursache sich die Relativgeschwindigkeit des Beobachters verändert, ist hierbei unerheblich. Der Effekt ist geometrisch bedingt und rein relativistisch. Wie aus dem <a href="Bellsches_Raumschiffparadoxon" title="Bellsches Raumschiffparadoxon">Bell-Raumschiffparadoxon</a> abgeleitet werden kann, ist die Wirkung (bezogen auf die komplette Distanz x) allerdings für die beiden Beteiligten asymmetrisch. Dies liefert wiederum die Erklärung für die Asymmetrie des <a href="Zwillingsparadoxon" title="Zwillingsparadoxon">Zwillingsparadoxons</a>. Diese Geschwindigkeitsänderung kann man nun bei kontinuierlicher Betrachtung in eine Beschleunigung umrechnen, wobei es sich aber nicht um eine lokale Beschleunigung a = F/m handelt, sondern um die effektive Änderung der Relativgeschwindigkeit aeff = dv/dt handeln muss:

<mfrac>

<msub>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\tau _{\Delta }}{\mathrm {d} t}}={\frac {a_{\mathrm {eff} }x}{c^{2}\gamma }}={\frac {a\cdot x}{\gamma ^{3}c^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bac413aee0415bd004a64854009cfd02a29d80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.463ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\tau _{\Delta }}{\mathrm {d} t}}={\frac {a_{\mathrm {eff} }x}{c^{2}\gamma }}={\frac {a\cdot x}{\gamma ^{3}c^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit Distanz x, infinitesimalem Zeitintervall dt, effektiver Beschleunigung aeff und Relativgeschwindigkeit v. Der Effekt ist entfernungsabhängig und richtungsabhängig. Theoretisch kann der Wert von Δv·x/Δt bzw. aeff·x kurzfristig beliebig hoch sein und je nach Vorzeichen a·x > 0 zu einem Zeitraffer (maximal, bis bei v = −c Gleichzeitigkeit erreicht wird) und a·x < 0 zu einer Zeitlupe (maximal Zeitstillstand bei v = c) wie bei der gewohnten Dilatation führen. Die Berechnung von aeff soll hier nicht detailliert erklärt werden. Da hierbei die relativistische Geschwindigkeitsaddition anzuwenden ist, und wegen (v·dv/c²) → 0, errechnet sich:

<msub>

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</msub>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\mathrm {eff} }={\frac {{\frac {v+\mathrm {d} v}{1+{\frac {v\ \mathrm {d} v}{c^{2}}}}}-v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\gamma ^{2}\left(1+{\frac {v\ \mathrm {d} v}{c^{2}}}\right)\mathrm {d} t}}={\frac {a}{\gamma ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f0d32e0330406c6e38770aaca3d353d2c8e86db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:43.856ex; height:11.343ex;" alt="{\displaystyle a_{\mathrm {eff} }={\frac {{\frac {v+\mathrm {d} v}{1+{\frac {v\ \mathrm {d} v}{c^{2}}}}}-v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\gamma ^{2}\left(1+{\frac {v\ \mathrm {d} v}{c^{2}}}\right)\mathrm {d} t}}={\frac {a}{\gamma ^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Entgegen weit verbreiteter Meinung verursacht die Beschleunigung a = v/t keine weiteren relativistischen Wirkungen auf die Zeit, die mit der Gravitation vergleichbar wären. Dies ergibt sich schon daraus, dass die Faktoren der Zeitdilatation und der Lorentz-Kontraktion bei der Gravitation gar nicht von der Beschleunigung, sondern ausschließlich vom Energiepotential abhängen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegung_mit_konstanter_Beschleunigung">Bewegung mit konstanter Beschleunigung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Hyperbelbewegung" title="Hyperbelbewegung">Hyperbelbewegung</a></div>

Wird ein Testkörper der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> mit einer konstanten Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> auf relativistische Geschwindigkeiten (größer als ein Prozent der Lichtgeschwindigkeit) beschleunigt, muss wegen der Zeitdilatation zwischen der Uhr eines ruhenden Beobachters und einer Uhr an Bord des Testkörpers unterschieden werden. Besitzt der Testkörper bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> die Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{0}}" loading="lazy">, so ist es zweckmäßig, die Abkürzung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{0}:={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95396f7690bf7a44887b164a7d017e0770e7b66b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:18.572ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{0}:={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

einzuführen, um die folgenden Rechenergebnisse übersichtlich aufschreiben zu können. Wird der Testkörper ab <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> mit einer konstanten Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> beschleunigt, so gilt

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)={\frac {at+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\dfrac {(at+v_{0}\gamma _{0})^{2}}{c^{2}}}}}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cdeed36076c760a9c90cf119200c22d9ba632e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:27.734ex; height:10.676ex;" alt="{\displaystyle v(t)={\frac {at+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\dfrac {(at+v_{0}\gamma _{0})^{2}}{c^{2}}}}}},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei sich die konstante Beschleunigung gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=F/M}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=F/M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59b39256e8e2157d78d6b7cf0f069b70bb14881.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=F/M}" loading="lazy"> berechnet.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Mit Hilfe dieser Formel kann zusätzlich auch die Eigenzeit berechnet werden, die eine Uhr im beschleunigten System des Testkörpers anzeigen würde. Dazu muss nur die Momentangeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/243a0bf98a12f48552ba6a70302122d81b237b3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.777ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(t)}" loading="lazy"> in das weiter oben angegebene Integral

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2eb5229d28ec28218be8cdf887ab2620b50b3789.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.103ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

eingesetzt werden. Das Ergebnis dieser Integration lautet

<mfrac>

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<mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {c}{a}}\ln \left({\frac {{\sqrt {c^{2}+(at+v_{0}\gamma _{0})^{2}}}+at+v_{0}\gamma _{0}}{(c+v_{0})\gamma _{0}}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdfc0f7c170647c705909bd6b120a9177ff62947.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:45.487ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {c}{a}}\ln \left({\frac {{\sqrt {c^{2}+(at+v_{0}\gamma _{0})^{2}}}+at+v_{0}\gamma _{0}}{(c+v_{0})\gamma _{0}}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Den zurückgelegten Weg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"> im System des ruhenden Beobachters erhält man durch Integration der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/243a0bf98a12f48552ba6a70302122d81b237b3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.777ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(t)}" loading="lazy"> über die Zeit zu

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {(at+v_{0}\gamma _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f81ab50c0c35ba8006ab6886427d840c12697ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:39.938ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {(at+v_{0}\gamma _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Wird bei verschwindender Startgeschwindigkeit (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c1edc4b0940bd796b52760429c00f84be1a76a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.443ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{0}=0}" loading="lazy">) die Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> noch durch die Eigenzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> ersetzt, gilt:<a href="#cite_note-freund-7">[7]</a>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {c^{2}}{a}}\left(\cosh \left({\frac {a\tau }{c}}\right)-1\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/417570d289043ae865ae26b4cd81c983b32972cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.938ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {c^{2}}{a}}\left(\cosh \left({\frac {a\tau }{c}}\right)-1\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reise_zu_entfernten_Sternen">Reise zu entfernten Sternen</h3></div>

<dl><dd><div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Zwillingsparadoxon" title="Zwillingsparadoxon">Zwillingsparadoxon</a></div></dd></dl>

Ein anderes Beispiel ist die <a href="Bewegung_(Physik)" title="Bewegung (Physik)">Bewegung</a> eines <a href="Raumschiff" title="Raumschiff">Raumschiffes</a>, das von der Erde startet, einen entfernten <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> ansteuert und wieder zurückkommt. Ein Raumschiff startet von der Erde und fliegt mit der anfänglichen <a href="Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=9{,}81\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}">

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=9{,}81\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e03be1384586811ee918401d8837439d9f1df76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.542ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle g=9{,}81\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}" loading="lazy"> zu einem 28 <a href="Lichtjahr" title="Lichtjahr">Lichtjahre</a> entfernten Stern. Die Beschleunigung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\ g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\ g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7311e9dcef5f564ee4d217cb26deecf1eb1cfb8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1\ g}" loading="lazy"> wurde gewählt, da hierdurch irdische Gravitationsverhältnisse an Bord eines Raumschiffes simuliert werden können. Auf halber Strecke ändert das Raumschiff das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> der Beschleunigung und verzögert ebenso stark. Nach einem sechsmonatigen Aufenthalt kehrt das Raumschiff auf gleiche Weise zur Erde zurück. Die vergangenen Zeiten ergeben sich für den Reisenden zu 13 Jahren, 9 Monaten und 16 Tagen (Messung mit an Bord befindlicher Uhr). Auf der Erde sind bei der Rückkehr des Raumschiffes dagegen 60 Jahre, 3 Monate und 5 Stunden vergangen.

Wesentlich größere Unterschiede erhält man bei einer Reise zur <a href="Andromedagalaxie" title="Andromedagalaxie">Andromedagalaxie</a>, die etwa 2 Millionen Lichtjahre entfernt ist (bei gleichen Beschleunigungs- und Verzögerungsphasen). Für die Erde vergehen etwa 4 Millionen Jahre, während für den Reisenden nur ungefähr 56 Jahre vergangen sind.

Das Raumschiff überschreitet die Lichtgeschwindigkeit nie. Je länger es beschleunigt, desto näher kommt es zwar an die Lichtgeschwindigkeit heran, es wird diese jedoch niemals erreichen. Aus Sicht der Erde nimmt die Beschleunigung also trotz gleichbleibender Triebwerksleistung ab. Im Raumschiff läuft die Zeit entsprechend der Zeitdilatation langsamer. Da im Raumschiff sowohl Beobachter als auch Messinstrumente der Zeitdilatation unterliegen, läuft aus ihrer Sicht die Eigenzeit ganz normal, jedoch verkürzt sich aufgrund der Lorentz-Kontraktion der Weg zwischen Erde und Reiseziel (Aus Erdsicht bleibe er in diesem Beispiel vereinfachend konstant). Wenn man nun im Raumschiff ist und seine Geschwindigkeit relativ zur Erde unter Berücksichtigung der Lorentz-Kontraktion bestimmt, dann kommt man auf dasselbe Resultat, wie wenn man von der Erde aus die Geschwindigkeit des Raumschiffes bestimmt. In der Praxis ist derzeit allerdings kein Antrieb realisierbar, der über so lange Zeit eine so hohe Beschleunigung erreicht.<a href="#cite_note-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zeitdilatation_durch_Gravitation">Zeitdilatation durch Gravitation</h2></div>

Die gravitative Zeitdilatation beschreibt den relativen Zeitablauf von Systemen, die in verschiedenen Entfernungen eines Gravitationszentrums (beispielsweise eines Sterns oder Planeten) relativ zu diesem ruhen. Zu beachten ist, dass die gravitative Zeitdilatation nicht etwa durch eine mechanische Einwirkung auf die Uhren entsteht, sondern eine Eigenschaft der Raumzeit selbst darstellt. Jeder relativ zum Gravitationszentrum ruhende Beobachter misst für identische, jedoch in unterschiedlichen Entfernungen vom Gravitationszentrum ablaufende Vorgänge unterschiedliche Ablaufzeiten, bezogen auf seine eigene Zeitbasis. Ein Effekt, der auf der gravitativen Zeitdilatation beruht, ist die <a href="Rotverschiebung#Gravitative_Rotverschiebung" title="Rotverschiebung">gravitative Rotverschiebung</a>.

Die allgemeingültige und von der Metrik abhängige Formel für die Zeitdilatation zwischen zwei relativ zur Masse stationären Beobachtern (<a href="Beobachter_(Physik)#Allgemeine_Relativitätstheorie" title="Beobachter (Physik)">FIDO</a>), von denen sich der eine außerhalb und der andere innerhalb des Gravitationsfelds befindet, lautet

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {g^{tt}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8972939e03dae5d54ee990ed6b9603ae85e91ccf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.291ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {g^{tt}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

In der Schwarzschildmetrik ist

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{tt}={\frac {1}{1-r_{\rm {s}}/r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27ae8e64735fe3abd14a8fbf832559460be74c70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.615ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle g^{tt}={\frac {1}{1-r_{\rm {s}}/r}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{tt}={\frac {1}{g^{tt}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{tt}={\frac {1}{g^{tt}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6744765490fb24c565e2a0e49a8ae8ddca69e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.001ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle g_{tt}={\frac {1}{g^{tt}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Um die gesamte Zeitdilatation eines stationären Beobachters in weiter Entfernung von der Masse relativ zu einem im Gravitationsfeld bewegten Beobachter zu erhalten, wird mit dem Lorentz-Faktor multipliziert; im Bezugssystem des stationären Beobachters ergibt sich somit, dass die Uhr des bewegten um den Faktor

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

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</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t_{\infty }}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {g^{tt}}}\ \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1fcab1e5941993e7b127b63340c9544823c1707.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.647ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t_{\infty }}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {g^{tt}}}\ \gamma }" loading="lazy"> also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ={t_{\infty }}{\frac {1}{{\sqrt {g^{tt}}}\ \gamma }}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={t_{\infty }}{\frac {1}{{\sqrt {g^{tt}}}\ \gamma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a333503d6634bef54d75e3575f910a4b7b55125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.556ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \tau ={t_{\infty }}{\frac {1}{{\sqrt {g^{tt}}}\ \gamma }}}" loading="lazy"></dd></dl>

verlangsamt läuft, während die Uhr des stationären Beobachters im System des bewegten um den Faktor

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau _{\infty }}}={\sqrt {g_{tt}}}\ \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41c8a2426f6030245b13ad1793557a4cc00cfb93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.426ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau _{\infty }}}={\sqrt {g_{tt}}}\ \gamma }" loading="lazy"> also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{\infty }={t}{\frac {\sqrt {g^{tt}}}{\gamma }}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{\infty }={t}{\frac {\sqrt {g^{tt}}}{\gamma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ba5bfc78465a05991e12c1ef6ea04a6d430bbd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.527ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \tau _{\infty }={t}{\frac {\sqrt {g^{tt}}}{\gamma }}}" loading="lazy"></dd></dl>

schneller oder langsamer tickt, abhängig davon, ob die gravitative oder die kinematische Komponente überwiegt (die gravitative Komponente bewirkt, dass die Uhr im Gravitationsfeld absolut langsamer tickt, während die kinematische Komponente zu einer wechselseitigen, also relativen Verlangsamung der jeweils anderen Uhr führt). Im freien Fall aus dem Unendlichen v = ve heben sich dabei beide Effekte aus Sicht des <a href="Beobachter_(Physik)#Allgemeine_Relativitätstheorie" title="Beobachter (Physik)">FFO</a> exakt auf:

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {g^{tt}}}=\gamma _{e}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6f97aad4a17fff025df6bef1bf4efe2db628c37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:10.163ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {g^{tt}}}=\gamma _{e}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschleunigung_und_Gravitation:_die_rotierende_Scheibe">Beschleunigung und Gravitation: die rotierende Scheibe</h3></div>

Diese Problemstellung wird auch als <a href="Ehrenfestsches_Paradoxon" title="Ehrenfestsches Paradoxon">ehrenfestsches Paradoxon</a> bezeichnet.

Nach dem Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie kann man lokal nicht zwischen einem ruhenden System in einem Gravitationsfeld und einem beschleunigten System unterscheiden. Deshalb kann man den Effekt der Gravitationszeitdilatation anhand der Zeitdilatation durch Bewegung erläutern.

Betrachtet man eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> rotierende Scheibe, so bewegt sich ein Punkt im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> vom Zentrum mit der Geschwindigkeit

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\frac {r\omega }{\sqrt {1+{\dfrac {(r\omega )^{2}}{c^{2}}}}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73f57e92225f03724a76805a042773ec8ed60dff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:18.23ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle v={\frac {r\omega }{\sqrt {1+{\dfrac {(r\omega )^{2}}{c^{2}}}}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dementsprechend wird im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> vom Mittelpunkt der Scheibe die Eigenzeit

<mfrac>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {t}{\sqrt {1+{\dfrac {(r\omega )^{2}}{c^{2}}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bc9acef016669ce5f2f518fa7d67ac6014b28cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:17.657ex; height:10.676ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {t}{\sqrt {1+{\dfrac {(r\omega )^{2}}{c^{2}}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

auftreten. Für hinreichend kleine Abstände (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1696111e7787d5dad10a3498817a688f2e7cc7a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.857ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}" loading="lazy">) ist dieser Ausdruck näherungsweise gleich

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =t\left(1-{\frac {(r\omega )^{2}}{2c^{2}}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1e4afcd60e7a80c1dca927424d3d7532fd76f65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.439ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tau =t\left(1-{\frac {(r\omega )^{2}}{2c^{2}}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Ein auf der Scheibe befindliches, mitrotierendes Objekt erfährt nun die Zentrifugalkraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=m\omega ^{2}r}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=m\omega ^{2}r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b65f1cf00f8d9f05bc9381a42fba4d443ba659b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.428ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F=m\omega ^{2}r}" loading="lazy">. Aufgrund des Äquivalenzprinzips kann man diese Kraft auch als Gravitationskraft deuten, zu der ein Gravitationspotential

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =-(r\omega )^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b10f063b18c1ad1bbc9efc86b160f44886108c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.785ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi =-(r\omega )^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

gehört. Dies ist aber gerade der Term, der bei der Zeitdilatation im Zähler auftritt. Somit ergibt sich für „kleine“ Abstände:

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =t{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8810ca299b994e57acbf5c74fdf0169c8c2a059.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.985ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tau =t{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

(Hinweis: Das hier angegebene Potential entspricht nicht dem üblichen Zentrifugalpotential, da hier eine Anpassung an die lokale Drehgeschwindigkeit der Scheibe vorgenommen wird, während beim üblichen Zentrifugalpotential stattdessen Drehimpulserhaltung gilt.)

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitdilatation_im_Schwerefeld_der_Erde">Zeitdilatation im Schwerefeld der Erde</h3></div>

In einem schwachen Gravitationsfeld wie dem der Erde kann die Gravitation und somit die Zeitdilatation näherungsweise durch das newtonsche Gravitationspotential beschrieben werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {1+{\frac {2\phi }{c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abfe566e61dad65e1ffb25e592ecda7051e10682.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.905ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {1+{\frac {2\phi }{c^{2}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> die Zeit bei Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c96cdab103e6c884877c86d6e5db6e471a167d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.646ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi =0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> das newtonsche Gravitationspotential (Multiplikation mit der Masse eines Körpers ergibt dessen potentielle Energie an einem bestimmten Ort).

Auf der Erde kann (solange die Höhe über der Erdoberfläche klein ist gegenüber dem Erdradius von ca. 6400 Kilometer) das Gravitationspotential durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi =gh}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =gh}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a13f64c44f1195904bdc51e0321455a823182c8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.939ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi =gh}" loading="lazy"> angenähert werden. Pro Meter Höhendifferenz beträgt die Zeitdilatation <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r252749370">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .numericFormat-multiply{background-position:center;background-repeat:no-repeat;border-radius:0.2em;color:transparent!important;display:inline-block;line-height:0.2em;margin-left:0.3em;margin-right:0.15em;width:0.2em}.mw-parser-output .numericFormat-10::before{content:"10"}.mw-parser-output .numericFormat-10 sup{margin-left:0.12em}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r198372224">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .numericFormat-1000::after{content:"."}.mw-parser-output .numericFormat-minus>span,.mw-parser-output .numericFormat-dec>span{position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden}.mw-parser-output .numericFormat-minus::after{content:"−"}.mw-parser-output .numericFormat-dec::after{content:","}.mw-parser-output .numericFormat-fractpart{margin-right:0.2em}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>1.1e-16. In 300 Kilometer Höhe (das ist zum Beispiel eine mögliche Höhe, in der die <a href="Space_Shuttle" title="Space Shuttle">Space Shuttles</a> flogen) vergehen somit in jeder „Erdbodensekunde“ 1 + 3.27e-11 s, das ist etwa eine Millisekunde pro Jahr mehr. Das heißt, ein Astronaut, der in 300 Kilometer Höhe über der Erde ruhen würde, würde in jedem Jahr etwa eine Millisekunde schneller altern als jemand, der auf der Erde ruht. Für einen Shuttle-Astronauten in einer solchen Höhe kommt allerdings durch die Bewegung des Shuttle (es kreiste um die Erde) ein zusätzlicher Effekt in der Zeitdilatation dazu.

Wenn man die durch die Höhe verursachte Verringerung der gravitativen Zeitdilatation relativ zur Erdoberfläche und die durch die für diese Höhe erforderliche Kreisbahngeschwindigkeit bedingte Zeitdilatation miteinander vergleicht, zeigt sich, dass sich bei einem Bahnradius vom 1,5-Fachen des Erdradius, also in einer Flughöhe von einem halben Erdradius (ca. 3200 Kilometer), die beiden Effekte genau aufheben und daher die Zeit auf einer solchen Kreisbahn genau so schnell vergeht wie auf der Erdoberfläche (wenn man vereinfachend annimmt, dass die Erde selbst nicht rotiert, ist es exakt der 1,5-fache Radius, berücksichtigt man auch die Erdrotation, ist es geringfügig weniger).

<a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> führte Anfang der 1960er Jahre in seiner Vorlesung aus, dass bereits das <a href="E%C3%B6tv%C3%B6s-Experiment" title="Eötvös-Experiment">Eötvös-Experiment</a> in Verbindung mit dem <a href="Energieerhaltungssatz#Energieerhaltungssatz_in_der_Newtonschen_Mechanik" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a> zur Vorhersage der Frequenzverschiebung von Photonen im Gravitationspotential der Erde gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\omega _{0}\left(1+{\frac {gh}{c^{2}}}\right)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\omega _{0}\left(1+{\frac {gh}{c^{2}}}\right)}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c969cbe12b5f7667b35579fc0bee3b71a96095d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.147ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega =\omega _{0}\left(1+{\frac {gh}{c^{2}}}\right)}" loading="lazy"> führt, die Allgemeine Relativitätstheorie müsste dazu nicht bemüht werden. Er bemerkte, dass wir Äußerungen über das Alter von Objekten wie der Erde vorsichtiger formulieren sollten, da der Erdmittelpunkt ein oder zwei Tage jünger sein dürfte als die Erdoberfläche.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Für die Erde wurde dieser Zeitunterschied zwischen Erdmittelpunkt und Erdoberfläche in klassischer Näherung unter Berücksichtigung der <a href="PREM" title="PREM">Dichteverteilung der Erde</a> im Jahr 2016 genauer mit 2,49 Jahren angegeben.<a href="#cite_note-uggerhoj-12">[12]</a> Dieser einfachen Erklärung der gravitativen Rotverschiebung in Form einer „Anziehung des Photons durch die Erde“ widersprechen Okun et al.,<a href="#cite_note-13">[13]</a> wie auch Rybicki<a href="#cite_note-14">[14]</a>, welche zu dem Schluss kommen, dass Feynman wie Uggerhøj das <a href="%C3%84quivalenzprinzip_(Physik)#Äquivalenzprinzip_in_der_allgemeinen_Relativitätstheorie" title="Äquivalenzprinzip (Physik)">Äquivalenzprinzip</a> „ignorieren“. Korrekt sei, dass der Erdmittelpunkt 1,58 Jahre älter (!) als die Erdoberfläche sein müsste, weil nach dem <a href="Newtonsches_Kugelschalentheorem" title="Newtonsches Kugelschalentheorem">newtonschen Schalentheorem</a> die Schwerkraft dort verschwindet und nicht unterschieden werden kann, ob sich der Ort weit außerhalb der Erde oder im Mittelpunkt der Erde befindet.<a href="#cite_note-uggerhoj-12">[12]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Experimentelle_Nachweise">Experimentelle Nachweise</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Tests_der_speziellen_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Tests der speziellen Relativitätstheorie">Tests der speziellen Relativitätstheorie</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Relativistischer_Dopplereffekt">Relativistischer Dopplereffekt</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Ives-Stilwell-Experiment" title="Ives-Stilwell-Experiment">Ives-Stilwell-Experiment</a></div>

Der erste direkte Nachweis der Zeitdilatation durch Messung des <a href="Relativistischer_Dopplereffekt" class="mw-redirect" title="Relativistischer Dopplereffekt">relativistischen Dopplereffekts</a> gelang mit dem <a href="Ives-Stilwell-Experiment" title="Ives-Stilwell-Experiment">Ives-Stilwell-Experiment</a> (1939); weitere Nachweise erfolgten mit den <a href="Ives-Stilwell-Experiment#Mößbauer-Rotor-Experiment" title="Ives-Stilwell-Experiment">Mößbauer-Rotor-Experimenten</a> (1960er) und <a href="Ives-Stilwell-Experiment#Moderne_Experimente" title="Ives-Stilwell-Experiment">modernen Ives-Stilwell-Varianten</a> auf Basis von <a href="Dopplerfreie_S%C3%A4ttigungsspektroskopie" title="Dopplerfreie Sättigungsspektroskopie">Sättigungsspektroskopie</a>, wobei letztere die mögliche Abweichung der Zeitdilatation bis auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8{,}4\cdot 10^{-8}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8{,}4\cdot 10^{-8}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdfa81b6ccd8484d86e2a9e2142657b64ecb4c10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.309ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 8{,}4\cdot 10^{-8}}" loading="lazy"> reduziert haben. Ein indirekter Nachweis sind Variationen des <a href="Kennedy-Thorndike-Experiment" title="Kennedy-Thorndike-Experiment">Kennedy-Thorndike-Experiments</a>, bei dem die Zeitdilatation zusammen mit der <a href="L%C3%A4ngenkontraktion" class="mw-redirect" title="Längenkontraktion">Längenkontraktion</a> berücksichtigt werden muss. Für Experimente, bei denen die Zeitdilatation für Hin- und Rückweg beobachtet wird, siehe <a href="Zwillingsparadoxon" title="Zwillingsparadoxon">Zwillingsparadoxon</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lebensdauermessung_von_Teilchen">Lebensdauermessung von Teilchen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Zeitdilatation_bewegter_Teilchen" title="Zeitdilatation bewegter Teilchen">Zeitdilatation bewegter Teilchen</a></div>

Beim Auftreffen der <a href="Kosmische_Strahlung" title="Kosmische Strahlung">kosmischen Strahlung</a> auf die Moleküle der oberen Luftschichten entstehen in 9 bis 12 Kilometer Höhe <a href="Myon" title="Myon">Myonen</a>. Sie sind ein Hauptbestandteil der sekundären kosmischen Strahlung, bewegen sich in Richtung Erdoberfläche mit nahezu Lichtgeschwindigkeit weiter und können dort nur wegen der relativistischen Zeitdilatation detektiert werden, denn ohne diesen relativistischen Effekt würde ihre mittlere Reichweite nur etwa 600 m betragen. Zusätzlich wurden Tests der Zerfallszeiten in Teilchenbeschleunigern mit <a href="Pion" title="Pion">Pionen</a>, Myonen oder <a href="Kaon" title="Kaon">Kaonen</a> durchgeführt, die ebenfalls die Zeitdilatation bestätigten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitdilatation_durch_Gravitation_2">Zeitdilatation durch Gravitation</h3></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Tests_der_allgemeinen_Relativit%C3%A4tstheorie#Gravitative_Rotverschiebung" title="Tests der allgemeinen Relativitätstheorie">Messung der gravitativen Rotverschiebung</a></div>

Die gravitative Zeitdilatation wurde 1960 im <a href="Pound-Rebka-Experiment" title="Pound-Rebka-Experiment">Pound-Rebka-Experiment</a> von <a href="Robert_Pound" title="Robert Pound">Robert Pound</a> und <a href="Glen_Rebka" title="Glen Rebka">Glen Rebka</a> nachgewiesen. Außerdem startete die <a href="NASA" title="NASA">NASA</a> 1976 eine <a href="Scout_(Rakete)" title="Scout (Rakete)">Scout-D-Rakete</a> mit einer <a href="Atomuhr" title="Atomuhr">Atomuhr</a>, deren Frequenz mit einer Uhr derselben Bauart auf der Erde verglichen wurde. Dies war das bisher präziseste Experiment, das erfolgreich die gravitative Rotverschiebung messen konnte.<a href="#cite_note-15">[15]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vergleich_zwischen_Uhren_im_Flugzeug_und_am_Boden">Vergleich zwischen Uhren im Flugzeug und am Boden</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Hafele-Keating-Experiment" title="Hafele-Keating-Experiment">Hafele-Keating-Experiment</a></div>

Eine Uhr in einem hoch fliegenden Flugzeug unterliegt zwei Formen von Zeitdilatation im Vergleich zu einer am Boden stehenden Uhr. Zum einen nimmt der Einfluss der Gravitation der Erde mit der Höhe, also der Entfernung zum Masseschwerpunkt der Erde, ab. Dadurch wird die Uhr im Flugzeug weniger verlangsamt als die Uhr am Boden. Zum anderen bewegt sich das Flugzeug relativ zur Uhr am Boden. Das bewirkt eine Verlangsamung der Uhr im Flugzeug. Die beiden Effekte wirken also in entgegengesetzter Richtung. Welcher der beiden Effekte überwiegt, hängt von der Höhendifferenz und der Geschwindigkeit des Flugzeugs ab.

Der erste Uhrenvergleich zwischen in einem Flugzeug transportierten Uhren und baugleichen am Boden verbleibenden geschah im Rahmen des <a href="Hafele-Keating-Experiment" title="Hafele-Keating-Experiment">Hafele-Keating-Experiments</a> im Jahr 1971. Für dieses Experiment flogen der Physiker <a href="Joseph_Hafele" title="Joseph Hafele">Joseph Hafele</a> und der Astronom Richard Keating mit vier <a href="Atomuhr" title="Atomuhr">Atomuhren</a> jeweils einmal ostwärts und westwärts in einem <a href="Verkehrsflugzeug" title="Verkehrsflugzeug">Verkehrsflugzeug</a> um die Welt. Vor und nach den Flügen wurde der Stand der Uhren mit dem von baugleichen Atomuhren verglichen, die im <a href="United_States_Naval_Observatory" title="United States Naval Observatory">United States Naval Observatory</a> betrieben wurden. Die sich dabei ergebenden Verschiebungen bestätigten die Vorhersagen der Relativitätstheorien.<a href="#cite_note-16">[16]</a> Seitdem wurden wiederholt Messungen in ähnlicher Form mit noch höherer Genauigkeit durchgeführt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Praktische_Bedeutung">Praktische Bedeutung</h3></div>

Von praktischer Bedeutung wird die Zeitdilatation bei <a href="Globales_Navigationssatellitensystem" title="Globales Navigationssatellitensystem">satellitengestützten Navigationssystemen</a> wie etwa dem <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">GPS</a>. Diese beruhen darauf, dass jeder Satellit des Systems ein sehr präzises, durch eine <a href="Atomuhr" title="Atomuhr">Atomuhr</a> ermitteltes Zeitsignal über Funk aussendet. Die GPS-Geräte der Nutzer empfangen diese Signale von mehreren Satelliten und ermitteln aus den Laufzeiten der Signale ihre Entfernung zu den verschiedenen Satelliten und daraus ihre exakte Position. Da die Satelliten der Zeitdilatation sowohl durch Gravitation als auch durch ihre Bewegung ausgesetzt sind, müssen die Navigationssysteme zur Verbesserung der Genauigkeit eine Korrektur dieser Effekte vornehmen.<a href="#cite_note-17">[17]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Trivia">Trivia</h2></div>

Eines der wenigen Lieder, die Zeitdilatation thematisieren ist der Song <a href="%E2%80%9939" title="’39">’39</a> von <a href="Queen_(Band)" title="Queen (Band)">Queen</a>. Der Text wurde von <a href="Brian_May" title="Brian May">Brian May</a> geschrieben, welcher Astrophysiker ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Time_dilation?uselang=de">Commons: Zeitdilatation</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Zeitdilatation" class="extiw external" title="wikt:Zeitdilatation">Wiktionary: Zeitdilatation</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. In: Annalen der Physik und Chemie. 17, 1905, S. 891–921 (als <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/1905_17_891-921.pdf">Faksimile</a> (PDF; 1,9 MB); und <a href="https://de.wikibooks.org/wiki/A._Einstein:_Kommentare_und_Erl%C3%A4uterungen:_Zur_Elektrodynamik_bewegter_K%C3%B6rper" class="extiw external" title="b:A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper">kommentiert und erläutert</a> bei <a href="Wikibooks" title="Wikibooks">Wikibooks</a>).</li>

<li>Thomas Cremer: Interpretationsprobleme der speziellen Relativitätstheorie. Eine historisch-didaktische Analyse (= Reihe Physik. 2). 2., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1990, ISBN 3-8171-1105-3 (Zugleich: Gießen, Universität, Dissertation, 1988).</li>

<li><a href="Walter_Greiner" title="Walter Greiner">Walter Greiner</a>, <a href="Johann_Rafelski" title="Johann Rafelski">Johann Rafelski</a>: Spezielle Relativitätstheorie (= Theoretische Physik. Bd. 3A). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1989, ISBN 3-8171-1063-4.</li>

<li><a href="Harald_Fritzsch" title="Harald Fritzsch">Harald Fritzsch</a>: Eine Formel verändert die Welt. Newton, Einstein und die Relativitätstheorie (= Serie Piper. 1325). 3. Auflage, Neuausgabe. Piper, München u. a. 1990, ISBN 3-492-11325-7.</li>

<li>Roland Pabisch: Derivation of the time dilatation effect from fundamental properties of photons. Springer, Wien u. a. 1999, ISBN 3-211-83153-3.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

Max Born: Die Relativitätstheorie Einsteins. 7. Auflage. Springer Verlag, 2003, ISBN 3-540-00470-X.

</li>

Roman Sexl, Herbert K. Schmidt: <cite style="font-style:italic">Raum-Zeit-Relativität</cite>. Vieweg, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-17236-3, S. 31–35.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.au=Roman+Sexl%2C+Herbert+K.+Schmidt&rft.btitle=Raum-Zeit-Relativit%C3%A4t&rft.date=1979&rft.genre=book&rft.isbn=3528172363&rft.pages=31-35&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg" style="display:none">

</li>

<a href="Edwin_F._Taylor" title="Edwin F. Taylor">Edwin F. Taylor</a>, <a href="John_Archibald_Wheeler" title="John Archibald Wheeler">John Archibald Wheeler</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity</cite>. W. H. Freeman, New York 1992, ISBN 0-7167-2327-1 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.au=Edwin+F.+Taylor%2C+John+Archibald+Wheeler&rft.btitle=Spacetime+Physics%3A+Introduction+to+Special+Relativity&rft.date=1992&rft.genre=book&rft.isbn=0716723271&rft.place=New+York&rft.pub=W.+H.+Freeman" style="display:none"> ; deutsch: „<a href="Physik_der_Raumzeit" title="Physik der Raumzeit">Physik der Raumzeit</a>“

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Fundamentals of Physics, Chapters 33–37</cite>. John Wiley & Son, 2010, ISBN 0-470-54794-4, S. 1032 f. (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.au=David+Halliday%2C+Robert+Resnick%2C+Jearl+Walker&rft.btitle=Fundamentals+of+Physics%2C+Chapters+33-37&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=0470547944&rft.pages=1032+f&rft.pub=John+Wiley+%26+Son" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Franz Embacher: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/SRT/Lorentzkontraktion.html">Lorentzkontraktion.</a> Abgerufen am 1. Januar 2013.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AZeitdilatation&rft.title=Lorentzkontraktion&rft.description=Lorentzkontraktion&rft.identifier=&rft.creator=Franz+Embacher&rft.date=">

</li>

Gilbert N. Lewis, Richard C. Tolman: <cite style="font-style:italic"><a href="https://de.wikisource.org/wiki/en:The_Principle_of_Relativity,_and_Non-Newtonian_Mechanics" class="extiw external" title="s:en:The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics">The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics</a></cite>. In: <cite style="font-style:italic">Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences</cite>. Band 44, 1909, S. 709–726 (in der englischsprachigen <a href="Wikisource" title="Wikisource">Wikisource</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.atitle=The+Principle+of+Relativity%2C+and+Non-Newtonian+Mechanics&rft.au=Gilbert+N.+Lewis%2C+Richard+C.+Tolman&rft.btitle=Proceedings+of+the+American+Academy+of+Arts+and+Sciences&rft.date=1909&rft.genre=book&rft.pages=709-726&rft.volume=44" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-freund-7">↑ <a href="#cite_ref-freund_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-freund_7-1">b</a> <a href="#cite_ref-freund_7-2">c</a> Jürgen Freund: <cite style="font-style:italic">Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger</cite>. vdf Hochschulverlag AG, 2007, ISBN 3-8252-2884-3, S. 12.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.au=J%C3%BCrgen+Freund&rft.btitle=Spezielle+Relativit%C3%A4tstheorie+f%C3%BCr+Studienanf%C3%A4nger&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=3825228843&rft.pages=12&rft.pub=vdf+Hochschulverlag+AG" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Eckhard Rebhan: <cite style="font-style:italic">Theoretische Physik I</cite>. Spektrum, Heidelberg/Berlin 1999, ISBN 3-8274-0246-8, S. 782–783.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.au=Eckhard+Rebhan&rft.btitle=Theoretische+Physik+I&rft.date=1999&rft.genre=book&rft.isbn=3827402468&rft.pages=782-783&rft.place=Heidelberg%2FBerlin&rft.pub=Spektrum" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a href="Torsten_Flie%C3%9Fbach" title="Torsten Fließbach">Torsten Fließbach</a>: Mechanik. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, S. 322 f., ISBN 3-8274-1433-4.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Rolf Sauermost u. a.: Lexikon der Naturwissenschaftler. <a href="Spektrum_Akademischer_Verlag" class="mw-redirect" title="Spektrum Akademischer Verlag">Spektrum Akademischer Verlag</a>, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, S. 360.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Richard. Feynman: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Feynman Lectures On Gravitation</cite>. "5.2 TIME DILATION IN A GRAVITATIONAL FIELD", S. 69 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.de/books/edition/Feynman_Lectures_On_Gravitation/G0paDwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=%22since+the+center+of+the+earth+should+be+a+day+or+two+younger+than+the+surface%22&pg=PA69&printsec=frontcover">google.de</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.atitle=%225.2+TIME+DILATION+IN+A+GRAVITATIONAL+FIELD%22&rft.au=Richard.%26%2332%3BFeynman&rft.btitle=Feynman+Lectures+On+Gravitation&rft.genre=bookitem&rft.pages=69" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-uggerhoj-12">↑ <a href="#cite_ref-uggerhoj_12-0">a</a> <a href="#cite_ref-uggerhoj_12-1">b</a> Ulrik I. Uggerhøj, et al.: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The young center of the earth</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Eur. J. Phys.</cite> 37, 035602 (2016). Jahrgang, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1604.05507">1604.05507</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.atitle=The+young+center+of+the+earth&rft.au=Ulrik+I.%26%2332%3BUggerh%C3%B8j%2C%26%2332%3Bet+al.&rft.btitle=Eur.+J.+Phys.&rft.genre=book&rft.volume=37%2C+035602+%282016%29.+Jahrgang" style="display:none">

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<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Maciej Rybicki: <cite style="font-style:italic">Gravitational Time Dilation inside the Solid Sphere</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Journal of Modern Physics</cite>. Band 13, Nr. 07, 2022, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%222153-1196%22&key=cql">2153-1196</a>, S. 1053–1064, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4236/jmp.2022.137059">10.4236/jmp.2022.137059</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zeitdilatation&rft.atitle=Gravitational+Time+Dilation+inside+the+Solid+Sphere&rft.au=Maciej+Rybicki&rft.date=2022&rft.doi=10.4236%2Fjmp.2022.137059&rft.genre=journal&rft.issn=2153-1196&rft.issue=07&rft.jtitle=Journal+of+Modern+Physics&rft.pages=1053-1064&rft.volume=13" style="display:none">

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<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Clifford Will: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3">The Confrontation between General Relativity and Experiment.</a> 2006.

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<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html">https://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html</a>

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